微扰理论：在已知问题上加"小扰动"

识别简并：

\(\hat{H}_0\) 的三个本征值都是 \(E_0\)，对应三个线性无关的本征函数 \(\phi_1,\phi_2,\phi_3\)（矩阵的标准基）。这是一个三重简并的情况。

写出微扰矩阵（在这个子空间内）：

直接给出的就是

这是实对称矩阵（厄米），可直接求本征值。

解久期方程 \(\det(\hat{H}'-E^{(1)}\mathbb{I})=0\)：

\[\det\begin{pmatrix}-E^{(1)}&0&\alpha\\0&-E^{(1)}&0\\\alpha&0&-E^{(1)}\end{pmatrix}=0\]

沿第二行展开（该行只有中间元 \(-E^{(1)}\) 非零）：

\[-E^{(1)}\big[(E^{(1)})^2-\alpha^2\big]=0\]

解得三个根：\(E^{(1)}=0,\ +\alpha,\ -\alpha\)。

求对应的本征向量（新的零级波函数）：

对 \(E^{(1)}=+\alpha\)：代入 \((\hat{H}'-\alpha\mathbb{I})\vec{c}=0\)：

得 \(c_2=0,\ c_1=c_3\)。归一化：\(\vec{c}=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}\)，即 \(\psi^{(0)}_{+}=\frac{1}{\sqrt{2}}(\phi_1+\phi_3)\)。

对 \(E^{(1)}=-\alpha\)：代入 \((\hat{H}'+\alpha\mathbb{I})\vec{c}=0\)，得 \(c_2=0,\ c_1=-c_3\)。归一化：\(\vec{c}=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}\)，即 \(\psi^{(0)}_{-}=\frac{1}{\sqrt{2}}(\phi_1-\phi_3)\)。

对 \(E^{(1)}=0\)：代入 \(\hat{H}'\vec{c}=0\)，得 \(c_1=c_3=0,\ c_2\) 任意。归一化：\(\vec{c}=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}\)，即 \(\psi^{(0)}_{0}=\phi_2\)（此态不受微扰影响）。

总结结果：

能级一级近似：

原来三重简并的能级（都等于 2）被微扰完全劈裂成三个不同的值，简并完全消除。

波函数 0 级近似：\(\psi^{(0)}_{+}=\tfrac{1}{\sqrt2}(\phi_1+\phi_3)\)（对应 \(2+\alpha\)）、\(\psi^{(0)}_{-}=\tfrac{1}{\sqrt2}(\phi_1-\phi_3)\)（对应 \(2-\alpha\)）、\(\psi^{(0)}_{0}=\phi_2\)（对应 \(2\)）。它们正是使微扰矩阵对角化的“好”零级波函数。

设 \(\hat{H}_0\) 和 \(\hat{H}'\)：

由于 \(c\ll 1\)，把对角线的主部分作为 \(\hat{H}_0\)、含 \(c\) 的部分作为微扰 \(\hat{H}'\)：

零级本征值：\(E_1^{(0)}=1,\ E_2^{(0)}=3,\ E_3^{(0)}=-2\)（非简并）。

能量一级修正 = 微扰矩阵的对角元 \(H'_{nn}\)：

注意：前两个态的对角元为 0，但第三个态有非零的一级修正 \(c\)（别漏掉它！）。

对 \(E_1\)：\[E_1^{(2)}=\frac{|\langle 2|\hat{H}'|1\rangle|^2}{E_1^{(0)}-E_2^{(0)}} + \frac{|\langle 3|\hat{H}'|1\rangle|^2}{E_1^{(0)}-E_3^{(0)}}=\frac{|c|^2}{1-3}+0=-\frac{c^2}{2}\]

对 \(E_2\)：\[E_2^{(2)}=\frac{|\langle 1|\hat{H}'|2\rangle|^2}{E_2^{(0)}-E_1^{(0)}} + \frac{|\langle 3|\hat{H}'|2\rangle|^2}{E_2^{(0)}-E_3^{(0)}}=\frac{|c|^2}{3-1}+0=\frac{c^2}{2}\]

对 \(E_3\)：\[E_3^{(2)}=\frac{|\langle 1|\hat{H}'|3\rangle|^2}{E_3^{(0)}-E_1^{(0)}} + \frac{|\langle 2|\hat{H}'|3\rangle|^2}{E_3^{(0)}-E_2^{(0)}}=0+0=0\]

合并零级 + 一级 + 二级：

求精确本征值：

第三行、第三列与前两个完全解耦，所以 \(E_3=c-2\) 就是精确值。对左上角 \(2\times 2\) 子矩阵：

\[(1-E)(3-E)-c^2=0\]

\[E^2-4E+3-c^2=0\]

\[E=\frac{4\pm\sqrt{16-4(3-c^2)}}{2}=2\pm\sqrt{1+c^2}\]

所以精确本征值为：\[E_1=2-\sqrt{1+c^2}, \quad E_2=2+\sqrt{1+c^2}, \quad E_3=c-2\]

比较与展开（\(c\ll 1\)）：

对精确值用泰勒展开：

所以

\[E_2=2+\Big(1+\tfrac{c^2}{2}-\cdots\Big)=3+\frac{c^2}{2}+O(c^4)\]

\[E_3=c-2\quad(\text{两者完全相同})\]

对比微扰二级近似，当 \(c\ll 1\) 时忽略 \(c^4\) 及更高阶项，两个结果完全一致！

无微扰的谐振子：

\[\hat{H}_0=\frac{\hat{p}^2}{2m}+\frac{1}{2}m\omega^2\hat{x}^2, \quad E_n^{(0)}=\hbar\omega(n+\frac{1}{2})\]

一级修正（对角元）：

\[E_n^{(1)}=\langle n|\hat{H}'|n\rangle = -q\mathcal{E}\langle n|\hat{x}|n\rangle\]

由谐振子的对称性，\(\langle n|\hat{x}|n\rangle=0\)（波函数和 \(x\) 都是奇偶的，乘积是奇函数，积分为 0）。

所以 \(E_n^{(1)}=0\)。

二级修正：

\[E_n^{(2)}=\sum_{m\neq n}\frac{|\langle m|\hat{H}'|n\rangle|^2}{E_n^{(0)}-E_m^{(0)}}\]

关键矩阵元 \(\langle m|-q\mathcal{E}\hat{x}|n\rangle = -q\mathcal{E}\langle m|\hat{x}|n\rangle\)。

对谐振子，\(\hat{x}\) 只在相邻态间有非零矩阵元：

所以非零项只有 \(m=n\pm 1\)：

\[=\frac{q^2\mathcal{E}^2}{2m\omega^2}(n-(n+1))=-\frac{q^2\mathcal{E}^2}{2m\omega^2}\]

这是常数，对所有 \(n\) 都相同！

微扰二级结果：

\[E_n \approx \hbar\omega(n+\frac{1}{2}) + 0 - \frac{q^2\mathcal{E}^2}{2m\omega^2} = \hbar\omega(n+\frac{1}{2}) - \frac{q^2\mathcal{E}^2}{2m\omega^2}\]

所有能级都下移了同一个常数。

精确解：

在外电场下，势能变为

其中 \(x_0=\frac{q\mathcal{E}}{m\omega^2}\)。这只是原点的平移，本质上还是谐振子，只是能零点下移了 \(\frac{q^2\mathcal{E}^2}{2m\omega^2}\)。精确能级为

与微扰二级结果完全相同！