早期量子论：量子力学是怎么诞生的
五个经典物理解释不了的实验，逼出了一个全新的物理学。本章几乎全是「记结论 + 套公式算」的送分内容。
作业 1.1–1.5；概念：黑体辐射、紫外灾难、光电效应、光量子、临界频率、光子动量、脱出功、氢原子谱线、Rydberg 常数、玻尔量子论与假定、玻尔半径、角动量量子化、索末菲量子化条件、束缚态、康普顿散射、电子康普顿波长、普朗克假定与辐射定律、德布罗意波与关系、电子衍射实验。
经典物理（牛顿力学 + 麦克斯韦电磁学）在 1900 年前后遇到四大“乌云”实验：黑体辐射、光电效应、康普顿散射、原子线状光谱。解决它们的过程中，人们发现：能量、动量这些量在微观世界是“一份一份”的（量子化的），而且粒子和波的界限被打破了（波粒二象性）。这就是量子力学的起点。
1.1 黑体辐射与“紫外灾难”
任何物体都会辐射电磁波（热辐射）。黑体是一个理想模型：它能完全吸收所有照上去的电磁波，没有任何反射；一个开了小孔的空腔就是很好的黑体（光进去就出不来）。黑体辐射的能谱只跟温度 T 有关，和材料无关。
经典物理用“能量均分定理”推出了瑞利–金斯公式。它在长波（低频）符合实验，但在短波（紫外）方向，预言辐射能量会趋于无穷大 —— 这显然荒谬，被称为“紫外灾难”（物理学第二朵乌云）。
普朗克大胆假设：腔壁上振子的能量不能连续取值，只能是某个最小单元 \(\varepsilon=h\nu\) 的整数倍：
由此得到的普朗克黑体辐射公式在所有波段都和实验完美吻合：
其中 \(h=6.626\times10^{-34}\,\text{J·s}\) 是普朗克常数，是整个量子力学的“基本货币单位”。
两个极限可以检验它：长波（\(h\nu\ll k_BT\)）回到瑞利–金斯公式；短波（\(h\nu\gg k_BT\)）回到维恩公式，短波处自动趋于 0，灾难消除。
📌维恩位移定律（作业 1.5 要会推）▸
辐射最强的波长 \(\lambda_{\max}\) 随温度升高而左移（变短）：
这就是为什么铁块加热先变暗红、再橙黄、最后发白：温度越高，峰值越往短波（蓝紫）走。推导见「例题解析」。
1.2 光电效应：光是“一颗一颗”的
光照在金属表面会打出电子（光电子）。实验有两个经典物理无法解释的怪现象：
- 有临界频率 \(\nu_0\)（红限）：光的频率低于 \(\nu_0\) 时，无论光多强、照多久，都打不出电子。
- 光电子最大动能只跟频率有关，与光强无关：光强只决定电子数量，不决定单个电子的能量。
经典电磁理论认为光能量由光强决定、与频率无关，完全解释不了。
光是一份份的光子，每个光子能量 \(E=h\nu\)、动量 \(p=h/\lambda\)。一个电子一次只吸收一个光子，先要花掉脱出功（逸出功） \(W\) 才能逃出金属，剩下的变成动能：
频率必须高到 \(h\nu>W\) 才有电子飞出，这就自然解释了红限。
把脱出功想成“门票”\(W\)。每个光子是一枚面值 \(h\nu\) 的硬币，电子只能用一枚硬币买票（一次吸一个光子）。硬币面值太小（频率太低）就买不起票，攒再多枚（光再强）也没用——因为不能两枚一起用。买完票剩下的钱才是电子的动能。
1.3 康普顿散射：光子真有动量
X 射线打到物质上被散射后，波长变长了，且波长增量 \(\Delta\lambda\) 随散射角 \(\theta\) 增大而增大，与入射波长无关。这只能用“光子像台球一样和电子碰撞、交换能量和动量”来解释——直接证明了光子具有动量。
其中 电子的康普顿波长 \(\lambda_C=\dfrac{h}{m_e c}=2.43\times10^{-12}\,\text{m}\)。注意它只由电子质量决定，是个常数。
1.4 玻尔氢原子模型
原子光谱是分立的线状光谱（不是连续的）。氢原子谱线波长满足里德伯公式：
- 定态假设：电子只能在某些特定轨道上运动，不辐射电磁波，每个定态有确定能量 \(E_n\)。
- 频率（跃迁）条件：电子在两定态间跃迁时吸收/发射一个光子，\(h\nu=E_{n_2}-E_{n_1}\)。
- 角动量量子化：轨道角动量只能取 \(\hbar\) 的整数倍：\[ L=mvr=n\hbar \quad(n=1,2,3,\dots) \]
由此可解出氢原子的关键结论（记住）：
| 量 | 公式 | 数值 |
|---|---|---|
| 玻尔半径 | \(a_0=\dfrac{4\pi\varepsilon_0\hbar^2}{m e^2}\) | \(0.529\,\text{Å}=0.529\times10^{-10}\,\text{m}\) |
| 轨道半径 | \(r_n=n^2 a_0\) | 随 \(n^2\) 增大 |
| 能级 | \(E_n=-\dfrac{13.6}{n^2}\,\text{eV}\) | 基态 \(-13.6\) eV |
玻尔模型成功解释了氢光谱，但它保留了经典轨道概念，是“半经典半量子”的过渡理论，处理不了多电子原子。更一般的量子化条件是索末菲量子化条件 \(\oint p\,dq=nh\)。
1.5 德布罗意波：粒子也是波
既然光（波）有粒子性，德布罗意反过来猜：实物粒子（电子等）也有波动性。用能量 \(E\)、动量 \(p\) 描述粒子性，用频率 \(\nu\)、波长 \(\lambda\) 描述波动性，两者由普朗克常数连接：
对非相对论粒子，若已知动能 \(E_k\)，则 \(p=\sqrt{2mE_k}\)，于是 \(\lambda=\dfrac{h}{\sqrt{2mE_k}}\)。这是本章最常考的计算。
实验证据：戴维逊–革末实验和汤姆逊电子衍射实验——电子打在晶体上出现衍射花样，证明电子确实是波。宏观物体德布罗意波长极短，波动性可忽略，所以我们日常感觉不到。
德布罗意波是概率波，不是机械波，也不是电磁波。波长与动量成反比：粒子动量越大（跑得越快/越重），波长越短，越“像”经典粒子。
\(h=6.626\times10^{-34}\,\text{J·s}\)，\(\hbar=1.055\times10^{-34}\,\text{J·s}\)，\(hc=1240\,\text{eV·nm}\)，电子质量 \(m_e=9.11\times10^{-31}\,\text{kg}\)，\(m_ec^2=0.511\,\text{MeV}\)，\(1\,\text{eV}=1.6\times10^{-19}\,\text{J}\)，\(k_B=1.38\times10^{-23}\,\text{J/K}\)。
先盖住解答自己动手，卡住了再点开看分步过程。👇
思路
已知动能 \(E_k\)，先求动量 \(p=\sqrt{2mE_k}\)，再用德布罗意关系 \(\lambda=h/p\)。
换算单位
\(E_k=3\,\text{eV}=3\times1.6\times10^{-19}=4.8\times10^{-19}\,\text{J}\)。
求动量
\[ p=\sqrt{2m_eE_k}=\sqrt{2\times9.11\times10^{-31}\times4.8\times10^{-19}}\approx9.35\times10^{-25}\ \text{kg·m/s} \]
求波长
\[ \lambda=\frac{h}{p}=\frac{6.626\times10^{-34}}{9.35\times10^{-25}}\approx7.1\times10^{-10}\ \text{m} \]
求动能
\[ E_k=\tfrac{3}{2}k_BT=\tfrac{3}{2}\times1.38\times10^{-23}\times1\approx2.07\times10^{-23}\ \text{J} \]
氦原子质量
\(m=4\,\text{u}=4\times1.66\times10^{-27}\approx6.64\times10^{-27}\,\text{kg}\)。
动量与波长
\[ p=\sqrt{2mE_k}\approx5.24\times10^{-25}\ \text{kg·m/s} \]\[ \lambda=\frac{h}{p}=\frac{6.626\times10^{-34}}{5.24\times10^{-25}}\approx1.26\times10^{-9}\ \text{m} \]
能量守恒（阈值条件）
两光子总能量至少等于正负电子的静能之和 \(2m_ec^2\)。两光子能量相等，故每个光子 \(h\nu \ge m_ec^2\)。波长最大对应能量最小，取等号：\(h\nu=m_ec^2\)。
求最大波长
\[ \lambda_{\max}=\frac{hc}{m_ec^2}=\frac{h}{m_ec}=\lambda_C \]
恰好等于电子的康普顿波长！
代入数值
\[ \lambda_{\max}=\frac{6.626\times10^{-34}\times3\times10^{8}}{0.511\times10^{6}\times1.6\times10^{-19}}\approx2.43\times10^{-12}\ \text{m} \]
写出按波长分布的普朗克公式
\[ \rho(\lambda,T)=\frac{8\pi hc}{\lambda^5}\,\frac{1}{e^{hc/\lambda k_BT}-1} \]
求极值，令导数为零
令 \(x=\dfrac{hc}{\lambda k_BT}\)。对 \(\lambda\) 求导并令 \(\dfrac{d\rho}{d\lambda}=0\)，化简得超越方程：
\[ 5(e^{x}-1)=x\,e^{x}\quad\Longrightarrow\quad x=5\left(1-e^{-x}\right) \]
数值解
解得 \(x\approx4.965\)（可用数值/图解法）。即 \(\dfrac{hc}{\lambda_{\max}k_BT}=4.965\)。
得到位移定律
\[ \lambda_{\max}T=\frac{hc}{4.965\,k_B}=b\approx2.898\times10^{-3}\ \text{m·K} \]
求光子能量（用 \(hc=1240\,\text{eV·nm}\) 很方便）
\[ h\nu=\frac{hc}{\lambda}=\frac{1240\ \text{eV·nm}}{400\ \text{nm}}=3.1\ \text{eV} \]
光电方程求动能
\[ E_{k,\max}=h\nu-W=3.1-2.0=1.1\ \text{eV} \]
遏止电压
遏止电压满足 \(eU_0=E_{k,\max}\)，所以 \(U_0=1.1\,\text{V}\)。
用里德伯公式
\[ \frac{1}{\lambda}=R\left(\frac{1}{2^2}-\frac{1}{3^2}\right)=R\left(\frac14-\frac19\right)=R\cdot\frac{5}{36} \]
代入 \(R=1.097\times10^7\,\text{m}^{-1}\)
\[ \frac{1}{\lambda}=1.097\times10^7\times0.1389\approx1.524\times10^{6}\ \text{m}^{-1} \]
验证（用能级也行）
\(h\nu=E_3-E_2=-13.6(\tfrac19-\tfrac14)=1.89\,\text{eV}\)，\(\lambda=1240/1.89\approx656\,\text{nm}\)，一致。
点选项即时判分，自动保存进度。多选题选完点「提交答案」。